Menghitung Distribusi Normal Dengan Manual dan Ms Excel Dalam Statistik

Distribusi normal merupakan distribusi yang paling banyak dipakai. Kebanyakan karakter alam dan manusia mengikuti distribusi normal. Ketika suatu populasi mengikuti distribusi normal, observasi ter-klaster di sekitar rata-rata aritmetiknya. Dengan demikian, rata-rata aritmetik, modus dan median menjadi ukuran yang baik untuk melakukan estimasi. Distribusi normal diformulasikan dalam persamaan berikut ini :

Untuk mempermudah perhitungan secara manual, maka dilakukan transformasi z yang dirumuskan sebagai berikut :

Nilai probabilitas untuk nilai z tertentu kemudian dilihat menggunakan tabel z.

Contoh Kasus :

Pada akhir tahun 2009, sebuah organisasi pemerintah memiliki total staff manajerial dengan jumlah 1500 orang. Data sebaran umur karyawan tersebut diketahui mengikuti distribusi normal dengan umur rata-rata 40,25 tahun dan standar deviasi 12,36 tahun. Seorang staff akan purna tugas/pensiun setelah berusia lebih dari 56 tahun.

Hitunglah jumlah pegawai yang akan pensiun di akhir tahun 2009...?

Perhitungan secara manual.

Umur rata-rata ( µ ) = 40,25

Standar deviasi (o ) = 12,36

P (xi ≥ 56)

Perhitungan probabilitas

Letak nilai Z dapat diilustrasikan dalam gambar berikut ini :

Gambar Ilustrasi Nilai probabilitas yang dibatasi oleh Grafik Fungsi Probabilitas dan Nilai Z

Perhatikan gambar diatas, nilai probabilitas yang kita cari P(x ≥ 56) atau P(≥ z), yaitu luasan yang dibatasi oleh garis fungsi F(x, µ, o ) dan zi.

Gunakan tabel Z untuk mencari nilai probabilitasnya

Z	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0.0	0.0000	0.0040	0.0080	0.0120	0.0160	0.0199	0.0239	0.0279	0.0319	0.0359
0.1	0.0398	0.0438	0.0478	0.0517	0.0557	0.0596	0.0636	0.0675	0.0714	0.0753
0.2	0.0793	0.0832	0.0871	0.0910	0.0948	0.0987	0.1026	0.1064	0.1103	0.1141
0.3	0.1179	0.1217	0.1255	0.1293	0.1331	0.1368	0.1406	0.1443	0.1480	0.1517
0.4	0.1554	0.1591	0.1628	0.1664	0.1700	0.1736	0.1772	0.1808	0.1844	0.1879
0.5	0.1915	0.1950	0.1985	0.2019	0.2054	0.2088	0.2123	0.2157	0.2190	0.2224
0.6	0.2257	0.2291	0.2324	0.2357	0.2389	0.2422	0.2454	0.2486	0.2517	0.2549
0.7	0.2580	0.2611	0.2642	0.2673	0.2703	0.2734	0.2764	0.2794	0.2823	0.2852
0.8	0.2881	0.2910	0.2939	0.2967	0.2995	0.3023	0.3051	0.3078	0.3106	0.3133
0.9	0.3159	0.3186	0.3212	0.3238	0.3264	0.3289	0.3315	0.3340	0.3365	0.3389
1.0	0.3413	0.3438	0.3461	0.3485	0.3508	0.3531	0.3554	0.3577	0.3599	0.3621
1.1	0.3643	0.3665	0.3686	0.3708	0.3729	0.3749	0.3770	0.3790	0.3810	0.3830
1.2	0.3849	0.3869	0.3888	0.3907	0.3925	0.3944	0.3962	0.3980	0.3997	0.4015
1.3	0.4032	0.4049	0.4066	0.4082	0.4099	0.4115	0.4131	0.4147	0.4162	0.4177
1.4	0.4192	0.4207	0.4222	0.4236	0.4251	0.4265	0.4279	0.4292	0.4306	0.4319
1.5	0.4332	0.4345	0.4357	0.4370	0.4382	0.4394	0.4406	0.4418	0.4429	0.4441
1.6	0.4452	0.4463	0.4474	0.4484	0.4495	0.4505	0.4515	0.4525	0.4535	0.4545
1.7	0.4554	0.4564	0.4573	0.4582	0.4591	0.4599	0.4608	0.4616	0.4625	0.4633
1.8	0.4641	0.4649	0.4656	0.4664	0.4671	0.4678	0.4686	0.4693	0.4699	0.4706
1.9	0.4713	0.4719	0.4726	0.4732	0.4738	0.4744	0.4750	0.4756	0.4761	0.4767
2.0	0.4772	0.4778	0.4783	0.4788	0.4793	0.4798	0.4803	0.4808	0.4812	0.4817
2.1	0.4821	0.4826	0.4830	0.4834	0.4838	0.4842	0.4846	0.4850	0.4854	0.4857
2.2	0.4861	0.4864	0.4868	0.4871	0.4875	0.4878	0.4881	0.4884	0.4887	0.4890
2.3	0.4893	0.4896	0.4898	0.4901	0.4904	0.4906	0.4909	0.4911	0.4913	0.4916
2.4	0.4918	0.4920	0.4922	0.4925	0.4927	0.4929	0.4931	0.4932	0.4934	0.4936
2.5	0.4938	0.4940	0.4941	0.4943	0.4945	0.4946	0.4948	0.4949	0.4951	0.4952
2.6	0.4953	0.4955	0.4956	0.4957	0.4959	0.4960	0.4961	0.4962	0.4963	0.4964
2.7	0.4965	0.4966	0.4967	0.4968	0.4969	0.4970	0.4971	0.4972	0.4973	0.4974
2.8	0.4974	0.4975	0.4976	0.4977	0.4977	0.4978	0.4979	0.4979	0.4980	0.4981
2.9	0.4981	0.4982	0.4982	0.4983	0.4984	0.4984	0.4985	0.4985	0.4986	0.4986
3.0	0.4987	0.4987	0.4987	0.4988	0.4988	0.4989	0.4989	0.4989	0.4990	0.4990

Dengan menggunakan tabel Z di atas, diketahui bahwa nilai probabilitas ;

P(z ≥ 1,274271) = 1 – (0,5+0,398726) = 0,101284

Dengan demikian, jumlah pegawai yang akan pensiun sampai akhir tahun 2009 adalah sebesar 0,101284*1500 = 152 orang

PENYELESAIAN DENGAN MS EXCEL

Buat parameter dan variabel seperti berikut :

Pada Cell D6 ketik formula seperti berikut :

= 1 – NORM.DIST(D5;D3;D4;1)

Hasil nya seperti berikut :

Kemudian pada Cell D7 ketik formula : = D6*D2

Maka hasil akhirnya adalah :

PENYELESAIAN DENGAN SPSS

Pada variabel view buatlah 2 buah variabel dengan nama X dan CDF

Pada data view, masukan nilai data dari hasil pada kolom X dengan nilai 1,2 sd 60

 Klik Transform > Compute Variabel dan atur tampilannya seperti berikut ;

Klik OK, maka di layar akan tampil hasil pemrosesan

Perhatikan PDF pda X=56 menunjukan angka 0,8987165, hal ini berarti bahwa probabilitas komulatif dari nilai terkecil sampai pada nilai x adalah sebesar 0,8987165. Jadi, nilai p(x ≥56) adalah sebesar 1-0,8987165 = 0,101284

Dengan demikian, jumlah karyawan yang pensiun sampai akhir tahun 2009 adalah 1500*0,101284 = 152 orang.

Semoga tulisan ini dapat bermanfaat, terima kasih telah berkunjung...